2018年中考浙江湖州第23题——倒二压轴（直角三角形与相似）
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(2018·湖州)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点(不包括端点)，且DC/BE=AC/BC=m，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图①，过点E作EH⊥AB于点H，连接DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m＝√2/2，求证AE＝DF；
(2)如图②，若m＝3/5，求DF/AE值.
②
【图文解析】
(1) ①由三角函数的定义或相似，结合已知条件不难得到HE＝DC，如下图示：
由EH⊥AB及∠BAC＝900可得：
HE∥AC，即HE∥DC；在Rt△ABC和Rt△BEH中，sinB=HE/BE=AC/BC，而DC/BE=AC/BC，得HE/BE=DC/BE，所以HE＝DC；因此四边形DHEC是平行四边形.
②当m＝√2/2时，sinB=AC/BC＝m=＝√2/2，可得∠B＝450．即△ABC和△BEH均为等腰直角三角形．
进一步地，得到：
因此，△AEH≌△DAF，得到AE＝DF.
(2)当m＝3/5时，如下图示：
不难证得△AHE∽△DAF，得到DF/AE＝AD/AH.
另一方面，由（1）知：sin∠B＝HE/BE＝AC/BC＝m＝3/5，且HE＝DC，可设HE＝DC＝3a，AC=3b，则BE＝5a，BC=5b，进一步，得：（如下图示）
所以AH＝4（b-a），AD=3(b-a)，得到AD/AH＝3/4.
综上可得，DF/AE＝3/4.
【拓展延伸】
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为AC，BC边上的点(不包括端点)，且DC/BE=AC/BC=3/5，且D是AC的中点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．求MF/MD值.
答案：9：16.
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